O Google Chrome tem um sistema de atualização automática que verifica novas versões periodicamente ou quando visitamos a janela Sobre que fica na chave inglesa. Mas quando baixamos o instalador de outro lugar, isso não funciona.

Sites como o FileHippo hospedam os arquivos em seus próprios servidores e disponibilizam o arquivo completo que pesa cerca de 12MB. Já o site oficial do Google nos dá um instalador online que inicialmente pesa 500kb e quando executado baixa os 12MB do pacote completo com o navegador.

Quando baixamos o arquivo direto, sem usar o instalado fornecido pelo Google, a atualização automática não vai mais funcionar. O erro que deve aparecer é Servidor de atualização não disponível, ou erro 3, porém descobri uma solução, mas não há confirmações de que ela pode funcionar com você, mas não custa tentar. Digamos que você baixou o Chrome do FileHippo, instalador completo e tal. Aí você instalou e viu que o auto update não funciona. Então você deve simplesmente ir no site oficial do navegador e baixar o instalador do Google.

Execute-o normalmente, mas quando aparecer Fazendo o download do Google Chrome, não espere muito e feche a janela. Deixe assim somente um momentinho e acabe com a festa. Agora volte na versão do Chrome que você tem instalado e veja que ele vai verificar se tem novas versões e dirá o resultado da busca. Isso por si só já significa que o atualizador automático voltou a funcionar e que você já pode correr para o abraço, ou pelo menos para o formulário de comentário mais abaixo para me falar sua experiência e se deu certo ou não.

Pelo menos aqui isso funcionou diversas vezes em diferentes sistemas operacionais (Windows) e espero que dê certo para você também! Caso não funcione, pode usar a solução oficial do Google nessa página.